皆さん、こんにちは！担任助手の山田です！高校一年生の皆さん。 高校に入学して、新しい生活にも少しずつ慣れてきた頃でしょうか？ さて、高校の数学で最初の関門の一つとも言われる「場合の数」、皆さんはどんなイメージを持っていますか？ 「なんだか難しそう…」「中学で習った時も苦手だったんだよな…」なんて声も聞こえてきそうです。

でも大丈夫！この「場合の数」は、考え方のコツさえ掴めば、パズルを解くような面白さがある単元なんです。 この記事では、「場合の数」の基本的な考え方から、テストでよく狙われる問題のパターン、そして学習する上での注意点などを分かりやすく解説していきます。 これを読んで、少しでも「場合の数、いけるかも！」と思ってもらえたら嬉しいです。

「場合の数」って、どんなことを勉強するの？

「場合の数」とは、簡単に言うと「ある事柄が起こりうる場合の総数が何通りあるか」を数え上げる方法を学ぶ単元です。 例えば、「3枚のカードを並べる方法は何通り？」とか、「5人の中から2人の代表を選ぶ方法は何通り？」といった問題を扱います。

中学でも樹形図を使って数えたり、簡単な計算をしたりしましたよね。高校では、そこに「順列（P）」や「組み合わせ（C）」といった新しい考え方や計算方法が加わり、より複雑な場合の数もスマートに数え上げることができるようになります。

この単元をしっかり理解しておくと、次に学習する「確率」の計算がスムーズになるだけでなく、物事を論理的に考えたり、情報を整理したりする力も養われるんですよ。

テストでよく出る！「場合の数」頻出パターンと注意点

さあ、ここからはテストでよく出題される代表的な問題パターンと、それぞれの攻略ポイント、注意点を見ていきましょう！

1. 「並べる」問題（順列 P の考え方）

• どんな問題？
  • 「A, B, C, D の4人を1列に並べる方法は何通り？」
  • 「5冊の異なる本を本棚に並べる時、特定の2冊が隣り合う並べ方は何通り？」
  • 「男子3人、女子2人が1列に並ぶ時、女子2人が隣り合わない並べ方は何通り？」
• 注意ポイント！
  • 「異なるもの」を「順番をつけて」並べる場合に順列（P）を使います。
  • 問題文をよく読んで、「誰と誰を区別するのか」「順番は関係あるのか」をしっかり把握しましょう。
• 攻略のコツ！
  • 「隣り合う」場合は、隣り合うものを1つのカタマリとして考え、最後にカタマリの中の並び方も忘れずに掛け算！
  • 「隣り合わない」場合は、まず関係ないものを並べて、その間や両端に後から入れていくと考えやすいことが多いです。または、全体の場合の数から「隣り合う」場合の数を引くという作戦も有効ですよ。

2. 「選ぶ」問題（組み合わせ C の考え方）

• どんな問題？
  • 「7人の中から3人の掃除当番を選ぶ方法は何通り？」
  • 「異なる色のボールが10個入った袋から、4個のボールを取り出す方法は何通り？」
  • 「平面上に5つの点がある。これらの点のうち、3つの点を頂点とする三角形は何個作れる？」
• 注意ポイント！
  • 「異なるもの」から「順番を考えずに」選ぶ場合に組み合わせ（C）を使います。
  • 順列（P）との一番の違いは「順番が関係あるかないか」です。選ぶだけならC、選んでさらに並べるならP、と区別しましょう。
• 攻略のコツ！
  • 「選ぶだけ」なのか、「選んで並べる」のかを問題文から正確に読み取ることが超重要！
  • 図形の問題（三角形の個数など）では、「直線になってしまう3点」など、条件に合わないものがないか注意深く確認しましょう。

3. 「同じものを含む」並べ方の問題

• どんな問題？
  • 「a, a, a, b, b, c の6文字をすべて使って1列に並べる方法は何通り？」
  • 「右に4マス、上に3マス進んで目的地に行く最短経路は何通り？」（道順問題）
• 注意ポイント！
  • 同じものがある場合、それらを区別しないで数える必要があります。
  • 全てのものを区別があるものとして一旦並べ、その後、同じものの個数の階乗で割るのが基本です。
• 攻略のコツ！
  • 道順問題は、横移動の回数と縦移動の回数が決まっているので、「同じものを含む順列」の考え方で解けます。「→」と「↑」の並べ方、と考えてみましょう。

（学校の進度によっては、こんな問題も…）

• 円順列：円卓に座る場合など、回転して同じになるものは1通りと数えます。1つを固定して考えると分かりやすいです。
• 重複組み合わせ：「リンゴ、ミカン、ナシを合わせて7個買う。買わない果物があってもよい」のように、同じものを何回でも選んでよい場合の組み合わせです。仕切り（｜）と品物（〇）を使って考える方法があります。

「場合の数」でつまずかないための重要ポイント！

最後に、「場合の数」を攻略するための大切な心構えをいくつか紹介します。

1. 問題文をじっくり、丁寧に読む！ 何が問われているのか、どんな条件がついているのかを正確に把握することが一番大切です。焦らず、キーワードに印をつけながら読むのも良いでしょう。
2. 「区別する？しない？」「順番は関係ある？ない？」を常に自問自答！ これが、順列（P）を使うのか、組み合わせ（C）を使うのかを見極める最大のカギです。
3. 困ったら、具体的に書き出してみる！（樹形図は友達） 複雑な問題や、どの公式を使えばいいか分からない時は、面倒くさがらずに樹形図をかいたり、小さい数で具体的に書き出してみたりしましょう。そこから法則性が見えてくることも多いですよ。
4. 「和の法則」と「積の法則」を正しく理解して使う！
   • 「AまたはBが起こる場合」（同時には起こらない）→ 和の法則（足し算）
   • 「Aが起こり、続けてBが起こる場合」（一連の動作）→ 積の法則（掛け算） この区別をしっかりつけましょう。
5. 簡単な例で実験してみる！ 問題の数が多かったり、条件が複雑だったりする場合は、まず人数や個数を少なくした簡単な状況で考えてみましょう。そこで成り立った考え方が、元の問題にも応用できることがあります。

練習あるのみ！そして質問も忘れずに！

「場合の数」は、たくさんの問題に触れて、色々なパターンに慣れることがとても大切です。 教科書や問題集の問題に積極的にチャレンジしてみてくださいね。

そして、もし「うーん、やっぱりここが分からない…」「この問題の考え方がしっくりこない…」ということがあれば、遠慮なく塾の先生に質問してください！ 一緒に考えて、疑問をスッキリ解消していきましょう。

まとめ

「場合の数」は、論理的に考える力を鍛える、とても奥が深い単元です。最初は難しく感じるかもしれませんが、一つ一つの考え方を丁寧に理解し、問題演習を重ねていくうちに、きっと面白さが見えてくるはずです。

もうすぐやってくるテストに向けて、計画的に学習を進め、自信を持って臨めるように頑張ってくださいね。 応援しています！